Massenträgheitsmomente eines Stabs und einer Rechteckplatte

 

Das folgende C++ Programm berechnet die Massenträgheitsmomente eines dünnen Stabs und einer dünnen Rechteckplatte. Das Massenträgheitsmoment J wird um eine Z-Achse bestimmt, die parallel durch den Schwerpunkt des Körpers gelegt wird.

Der Mittelpunkt des Stabs entspricht dem Schwerpunkt des Stabs. Das zugehörige Massenträgheitsmoment eines dünnen geraden Stabs beträgt:

m ist die Masse des Stabs, und l ist seine Länge.

Siehe mehr dazu unter: https://www.vadimanhenko.com/search/label/Massentraegheitsmoment%20eines%20Drahtes

Der Schwerpunkt einer dünnen Rechteckplatte liegt in der Mitte ihrer Diagonale d. Das zugehörige Massenträgheitsmoment einer dünnen Rechteckplatte beträgt:

m ist die Masse der Rechteckplatte.

Seien a die Länge und b die Breite der Rechteckplatte, dann gilt:

Vergleicht man die Formeln für die Massenträgheitsmomente des Stabs und der Rechteckplatte, so erkennt man, dass der einzige Unterschied in der Anzahl der Variablen liegt. Das C++ Programm erhält eine Funktion namens mtmoment(), die 2 oder 3 Argumente besitzt. Je nach Anzahl der übergebenen Argumente berechnet das Programm das entsprechende Massenträgheitsmoment:

1)      Wenn es 2 Argumente der Funktion gibt, dann wird das Massenträgheitsmoment des Stabs berechnet.

2)      Wenn es 3 Argumente der Funktion gibt, dann wird das Massenträgheitsmoment der Rechteckplatte berechnet.

Dieses Prinzip nennt man die Funktionsüberladung. Der Compiler weiß immer, welche Funktion verwendet werden muss, obwohl die Funktionen denselben Namen haben.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// Funktionsprototypen
double mtmoment(double, double);
double mtmoment(double, double, double);

int main()
{
    cout << "Das Programm berechnet das Massentraegheitsmoment eines Stabes oder einer Recheckplatte um Z-Achse durch den Schwerpunkt." << endl;
    cout << "Waehlen Sie bitte aus, um welchen Koerper handelt es sich:" << endl;
    cout << "1: Stab;" << endl;
    cout << "2: Rechteckplatte." << endl;
    cout << "0: Programm wird beendet." << endl;
    int Wahl;
    do {
        cout << "Waehlen Sie bitte eine Option aus:" << endl;
        cin >> Wahl;
        cout << "Sie haben Option " << Wahl << " ausgewaehlt." << endl;
        if (Wahl == 1 || Wahl == 2)
        {
            if (Wahl == 1)
            {
                cout << "Geben Sie bitte die Masse in kg ein:" << endl;
                double mstab;
                cin >> mstab;
                cout << "Geben Sie bitte die Laenge des Stabes in m ein:" << endl;
                double l;
                cin >> l;
                double Jstab = mtmoment(mstab, l);
                cout << "Das Massentraegheitsmoment ist gleich " << Jstab << " kg*m2" << endl;
            }
            else
            {
                cout << "Geben Sie bitte die Masse in kg ein:" << endl;
                double mplatte;
                cin >> mplatte;
                cout << "Geben Sie bitte die Laenge der Recheckplatte in m ein:" << endl;
                double a;
                cin >> a;
                cout << "Geben Sie bitte die Breite der Recheckplatte in m ein:" << endl;
                double b;
                cin >> b;
                double Jplatte = mtmoment(mplatte, a, b);
                cout << "Das Massentraegheitsmoment ist gleich " << Jplatte << " kg*m2" << endl;
            }

        }
        else
            cout << "Sie haben keine richtige Option fuer die Berechnung angegeben!" << endl;
    } while (Wahl != 0);
}

// Funktion für den Stab
double mtmoment(double m, double length)
{
    double J = m * pow(length, 2) / 12;
    return J;
}

// Funktion für die Rechteckplatte
double mtmoment(double mpl, double apl, double bpl)
{
    double diag = pow(apl, 2) + pow(bpl, 2);
    double J = mpl * diag / 12;
    return J;
}

Massenträgheitsmoment eines Drahtes

 

Die Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines Drahtes erfolgt unter der Annahme, dass die Querschnittabmessungen des Drahtes viel kleiner als die Länge des Drahtes l sind. Es gilt dann für die Dichte des Drahtes ρ:

wo dm – das Massenelement und dl – das Längenelement.

Wir betrachten den Draht als einen homogenen Stab (d.h. ρ = const). Die Z-Achse wird senkrecht zur Längsrichtung des Drahtes durch den Schwerpunkt gelegt.   Die X-Achse liegt entlang der Längsrichtung des Drahtes. 

Das Massenträgheitsmoment J_Z des Drahtes ist gleich dem Integral über alle mit dem Quadrat ihrer Abstände r² von der Drehachse multiplizierten Massenteilchen dm des Drahtes.

Für jede Koordinate x des Drahtes der Länge l gilt der folgende Ausdruck:

Einsetzen in J_Z:

 

Das ist die Näherungsformel für einen dünnen geraden Stab (oder Draht) mit kleineren Querschnittabmessungen gegenüber seiner Länge l. m ist die Masse des Stabes (oder des Drahtes).

Dasselbe Ergebnis gilt auch für eine dünne Rechteckplatte, wenn d die Diagonale der Rechteckplatte ist:

Satz von Steiner: Das Massenträgheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse Z ist gleich dem Massenträgheitsmoment um eine zur Z-Achse parallele Achse durch den Schwerpunkt, vermehrt um das Produkt aus der Masse m des Körpers und dem Quadrat des Abstandes zwischen beiden Achsen.

Wenn die Drehachse Z senkrecht zum Drahtsende gelegt wird, dann gilt nach dem Steinerschen Satz:

Das C++ Programm für die Berechnung der Massenträgheitsmomente eines dünnen Stabs und einer dünnen Rechteckplatte: https://www.vadimanhenko.com/search/label/Massentraegheitsmomente%20eines%20Stabs%20und%20einer%20Rechteckplatte