Geladene Ebene und Plattenkondensator

 

Man betrachtet eine gleichmäßig geladene unendliche Ebene.

  

 Die Flächenladungsdichte ihrer Ladungen wird durch die folgende Formel bestimmt.

E ist die elektrische Feldstärke des elektrostatischen Feldes.

q ist die elektrische Ladung.

S ist die Fläche.

Die gesamte Ladung Q ist gleich:

Man wählt auf der Ebene einen Zylinder mit der Grundfläche dS.

Wir wenden jetzt das elektrostatische Gaußsche Theorem an. Der Satz von Gauß ist eine der Grundgleichungen der Elektrotechnik. Der Fluss des Feldstärkevektors Φ ist gleich:

ε₀ ist die elektrische Feldkonstante (Permittivität des Vakuums).

Die Ebene teilt den Zylinder in zwei Teile. Jeder Teil trägt zum Fluss bei. Es gilt:

Vergleichen wir die beiden oberen Formeln.

Die Stärke des elektrostatischen Feldes E, das von einer gleichmäßig geladenen unendlichen Ebene erzeugt wird, beträgt:

Nun betrachten wir den Fall zweier unendlich großer, paralleler Ebenen mit entgegengesetzten Ladungen.

 

Die Feldstärke jeder einzelnen Ebene unterscheidet sich lediglich durch das Vorzeichen ihrer Ladung.

 

Die Feldstärke des von beiden Ebenen erzeugten elektrischen Feldes ergibt sich zu:

Wenn sich im Zwischenraum zwischen den Ebenen ein Dielektrikum befindet, dann gilt:

Dabei ist ε die Dielektrizitätskonstante (relative Permittivität) des Dielektrikums.

 

Auf Grundlage der oben dargestellten Ergebnisse kann die Beziehung für die elektrische Kapazität eines Plattenkondensators hergeleitet werden. Betrachten wir die Arbeit A, die von den Kräften des elektrostatischen Feldes beim Verschieben einer Ladung von einer Platte zur anderen geleistet wird. Das Linienintegral ist wegunabhängig.

dl ist die Strecke, entlang der sich die Ladung bewegt, d ist der Abstand zwischen den Platten, und  ist die Potentialdifferenz. Daraus folgt:

Daraus ergibt sich, dass die Kapazität C eines Plattenkondensators ist:

Wie aus dieser Formel folgt, hängt die Kapazität eines Plattenkondensators ausschließlich von den Abmessungen und der geometrischen Anordnung seiner Platten ab.

 

Außerdem ergibt sich daraus die Beziehung zwischen der Kapazität und der Spannung U, die an die Kondensatorplatten angelegt wird:

Somit kann man mithilfe mathematischer Methoden vom Begriff der Ebene im Raum die Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators herleiten.